<< 아래의 조건일 때 아래의 공식이 만족하는 정리>>
1.설명 (조건)
- 닫힌 구간 에서 연속 이어야 합니다.
- 구간 에서 미분 가능하여야 합니다.
- 적어도 하나의 c가 에서 존재한 상태입니다.
※ 이 공식의 이름 자체가 '평균 값' 이라는 단어가 들어가 무엇을 ? 어떤걸? 구하기 위한 것인지 어려울 수 있습니다.
평균 값은 '평균 변화율 = 순간 변화율' 이 성립되는 값을 의미합니다.
단어만 보았을 때는 더 어려워졌네요.. 그럼 그래프를 통해 설명드리겠습니다.
연속된 구간 [a,b] 에 대해서 기울기를 평균 변화율이라고 합니다. ( ( f(b) - f(a) ) / ( b - a))
** 롤의 정리에 의하면 f(a) = (b) 일 때 f'(c)는 0이라는 공식에 증명이 가능합니다.
Rolle's Theorem (롤의 정리)
> 1.설명 만약 함수가 양 끝에서 같은 값을 가지면 그 중간에는 순간 변화율이 0이 되는 지점이 반드시 하나 존재한다. 2. 예시 이 함수는 구간 [1,3][1,3]에서 연속이고 미분 가능하며, f(1)=f(3)=1입니
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순간변화율은 그래프에서 (c , f(c)) 에 대한 기울기를 의미합니다. 한 점을 의미하므로, 순간이라고 표현 가능하겠죠 ㅎㅎ
따라서, 평균 값 정리는 어떤 함수가 구간[a,b]에서 연속이고 미분 가능하면,
어떤 순간(c)에 그 순간의 변화율이 평균 변화율과 같아지는 지점이 반드시 하나 존재한다. 를 의미합니다.
기울기므로 f(c)를 미분한 f'(c) 가 됩니다.
2. 예제
이 함수는 구간 [에서 연속이고 미분 가능하며,
평균 변화율을 구하면 ( f(2) − f(0) ) / (4 - 2) = 입니다.
따라서 평균값 정리에 따르면 구간 에서 f′(c) 을 만족하는 가 존재합니다.
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