L’Hospital’s Rule (로피탈의 정리)

<<  아래의 조건에 성립되면 아래 공식이 성립되는 정리 >>

 

공식

 

1.조건

 1) f(x)와 g(x)가 a에서 정의

 2) f(x) = g(x)=0 또는 f(x) = g(x)  = ±∞

 3) g′(x)가 0이 아닌 근방에서 정의 ( g(x) not equal 0)

 

2.설명

• 형태 0/0:

   예를 들어 아래의 식이라고 가정하자.

예제1

여기서, ff(x)=sin(x), g(x)=x, 그리고 a=0입니다.

이 문제에 L'Hôpital의 규칙을 적용하면 ( f(x) 미분 / g(x) 미분 )

증명1

위와 같이 적용 할 수 있습니다.

 

※ 수식으로 보면 이해가 어려울 수 있어 그래프로 추가 설명 드립니다.

 

그래프

위와 같이 f(x) = sin(x) 이므로 미분하여 f'(x)를 만들면,

f'(x) = cos(x) 가 됩니다.

(이유는 sin(x)의 경우 순간변화율(기울기) sin(2/ π) 에서 0이 되는 그래프는 cos(x)이기 때문에 라고 생각하시면 쉽습니다.)

 

그래프를 보시면 극한 0에 수렴하는 y의 값이 f'(x)  = 1 , g'(x) = 1 이라는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

matlab으로 작성한 코드는 아래와 같으니 ,만약 확인하시고 싶으시면 사용하셔도 됩니다.

 

 

clc
close all
clear 
% 함수 및 도함수 정의
syms x;
f = sin(x);
g = x;

% 도함수 계산
f_prime = diff(f, x);
g_prime = diff(g, x);

% 함수 및 도함수 함수 핸들 생성
f_func = matlabFunction(f);
g_func = matlabFunction(g);
f_prime_func = @(x) subs(f_prime, x);
g_prime_func = @(x) subs(g_prime, x);

% 그래프 그리기
x_values = linspace(-5, 5, 1000);
f_values = f_func(x_values);
g_values = g_func(x_values);
f_prime_values = f_prime_func(x_values);
g_prime_values = g_prime_func(x_values);

% 그래프 스타일 설정
figure;

% f(x) 그래프
subplot(3, 2, 1);
plot(x_values, f_values, 'b', 'LineWidth', 2);
title('Graph of f(x)');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
grid on;

% g(x) 그래프
subplot(3, 2, 2);
plot(x_values, g_values, 'r', 'LineWidth', 2);
title('Graph of g(x)');
xlabel('x');
ylabel('g(x)');
grid on;

% f'(x) 그래프
subplot(3, 2, 3);
plot(x_values, f_prime_values, 'm', 'LineWidth', 2);
title('Graph of f''(x)');
xlabel('x');
ylabel('f''(x)');
grid on;

% g'(x) 그래프
subplot(3, 2, 4);
plot(x_values, g_prime_values, 'c', 'LineWidth', 2);
title('Graph of g''(x)');
xlabel('x');
ylabel('g''(x)');
grid on;

• 형태 ∞/∞:

예를 들어 아래의 식이라고 가정하자

예제2

여기서, f(x) = x^2, g(x) = e^x이고,  a = ∞입니다. L'Hôpital의 규칙을 적용하면,

 

증명2

 

 

위와 같이 증명이 됩니다.

 

단, 로피탈의 정리는 형태가 반드시 0/0 이거나 ∞/∞ 이어야 되므로, 주의하면서 사용해야됩니다.!!!