잡다한 지식

<<  수의 그래프 상에서 두 점을 연결하는 호의 길이를 계산하는 공식  >>

1.조건

 1) 함수 y=f(x)가 구간 [a,b]에서 연속

 2) 도함수 f′(x)가 구간에서 연속

2.예제

위 함수의 호 길이를 계산하기 위해 아래의 순서대로 계산합니다.

1) f'(x) = 2x

2) 공식에 대입합니다.

3) u = 1 + 4x^2   ,  x = 1 일 때, u = 5   

                              x =  0 일 때, u = 1

                              du = 8

4) 따라서

5) 루트 계산

6) 적분 계산

7) 결과는 ' 0.8483616572 ' 가 됩니다. 

1. 정의

 1) Midpoint Rule (중점 규칙):

주어진 구간을 여러 개의 작은 구간으로 나누고,

각 작은 구간의 중점에서 함수 값을 계산하여 이를 이용하여 적분 값을 근사화하는 수치적 적분 방법

  공식

2) Trapezoidal Rule (사다리꼴 규칙):

구간을 여러 개의 작은 사다리꼴로 나누고,

각 사다리꼴의 면적을 합하여 적분 값을 근사화하는 수치적 적분 방법

 공식

3) Simpson's Rule (심슨의 규칙):

주어진 구간을 여러 개의 작은 구간으로 나누고,

각 작은 구간에 대해 2차 다항식을 사용하여 적분 값을 근사화하는 수치적 적분 방법

 공식

2. 차이점

 1) 기본 형태:

• Midpoint Rule: 각 작은 구간에서 중점의 함수 값으로 근사화.
• Trapezoidal Rule: 각 작은 구간에서 사다리꼴의 면적으로 근사화.
• Simpson's Rule: 각 작은 구간에서 2차 다항식으로 근사화.

2) 오차 정확도:

• Midpoint Rule과 Trapezoidal Rule은 주로 선형 함수에 사용되며 근사치의 정확도가 떨어질 수 있음.
• Simpson's Rule은 2차 다항식의 근사를 사용하므로 일반적으로 더 높은 정확도를 제공함.

3) 적용 가능성:

• Midpoint Rule과 Trapezoidal Rule은 일반적인 수치적 적분에 자주 사용.
• Simpson's Rule은 더 정확한 근사가 필요한 경우에 사용되며, 특히 함수가 2차 다항식에 가까운 경우에 효과적.

3. 그래프 

그림을 통해 보다 이해를 쉽게 할 수 있습니다.

위의 그래프의 matlab 코드는 아래와 같습니다.

clc
close all
clear 
% 함수 정의
fun = @(x) sin(x); % 여기에 적절한 함수를 입력하세요.

% 구간 및 분할 수 정의
a = 0; % 시작점
b = pi; % 끝점
n = 10; % 분할 수

% x 값 및 함수 값 계산
x_values = linspace(a, b, 1000);
y_values = fun(x_values);

% Midpoint Rule 그래프 그리기
figure;
subplot(3, 1, 1);
plot(x_values, y_values, 'k', 'LineWidth', 2);
hold on;

midpoint_x = zeros(1, n);
midpoint_y = zeros(1, n);

for i = 1:n
    x_mid = (a + (i - 0.5) * (b - a) / n);
    y_mid = fun(x_mid);
    
    midpoint_x(i) = x_mid;
    midpoint_y(i) = y_mid;
    
    rectangle('Position', [x_mid - (b - a) / (2 * n), 0, (b - a) / n, y_mid], 'EdgeColor', 'b', 'FaceColor', 'none'); 
	rectangle('Position', [x_mid - (b - a) / (2 * n), 0, (b - a) / n, y_mid], 'EdgeColor', 'b', 'FaceColor', 'none');
end

title('Midpoint Rule');
hold off;

% Trapezoidal Rule 그래프 그리기
subplot(3, 1, 2);
plot(x_values, y_values, 'k', 'LineWidth', 2);
hold on;

trapezoidal_x = zeros(1, n+1);
trapezoidal_y = zeros(1, n+1);

for i = 1:n+1
    x_trap = a + (i - 1) * (b - a) / n;
    y_trap = fun(x_trap);
    
    trapezoidal_x(i) = x_trap;
    trapezoidal_y(i) = y_trap;
    
    if i > 1
        plot([trapezoidal_x(i-1), trapezoidal_x(i)], [trapezoidal_y(i-1), trapezoidal_y(i)], 'b', 'LineWidth', 2);
        plot([x_trap, x_trap], [0, y_trap], 'b', 'LineWidth', 2);
    
    end
end

title('Trapezoidal Rule');
hold off;

% Simpson's Rule 그래프 그리기
subplot(3, 1, 3);
plot(x_values, y_values, 'k', 'LineWidth', 2);
hold on;

simpson_x = zeros(1, 2*n+1);
simpson_y = zeros(1, 2*n+1);

for i = 1:2:2*n+1
    x_simp = a + (i - 1) * (b - a) / (2 * n);
    y_simp = fun(x_simp);
    
    simpson_x(i) = x_simp;
    simpson_y(i) = y_simp;
    
    if i < 2*n+1
        x_simp_mid = a + i * (b - a) / (2 * n);
        y_simp_mid = fun(x_simp_mid);
        
        simpson_x(i+1) = x_simp_mid;
        simpson_y(i+1) = y_simp_mid;
        
        simpson_x(i+2) = x_simp_mid;
        simpson_y(i+2) = 0;
        
        plot([x_simp, x_simp_mid, x_simp_mid], [y_simp, y_simp_mid, 0], 'b', 'LineWidth', 2);
    end
end

title("Simpson's Rule");
hold off;

<<  곱셈 형태의 함수를 적분하는 데 사용되는 기법 중 하나   >>

위 공식에서 아래와 같이 파생할 수 있습니다,

1.조건

 1) u = f(x)

 2) v = g(x)

 3) du = f'(x)

 4) dv = g'(x)

※ 이때, 식의 f(x) 와 g(x) 는 로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 순서를 정합니다.

2.예제

 1) 위 '함수 순서' 에 따라 f(x) 와 g'(x)를 선택합니다.

  f(x) = x  ( 다항 함수 ) 

  g'(x) = e^x  ( 지수함수 )

 2) 우선 필요한 변수의 값을 차례대로 적습니다.

•  f(x) = x
•  f'(x) = 1
•  g(x) =  e^x
•  g'(x) = e^x

 3)  그 후 파생공식에 변수 값을 넣어 적분을 수행합니다.

4) 적분을 수행한 결과를 정리합니다.

위와 같이 부분적분에 로다삼지 순서에 따라 함수의 순설를 정하고, 적분하는 예를 풀어보는 시간이었습니다.

<<  주어진 함수의 근사값을 찾는 수치 해석적인 방법  >>

1. 조건

1) x_(n+1)​은 다음 반복에서의 근사 해

2) x_n​은 현재 반복에서의 근사 해,

3) f(x_n​)은 함수의 값

4)) f′(x_n​)은 함수의 미분 값입니다.

※ 즉, 위 공식은 f(x) = 0 을 찾는 공식입니다.

2. 주의할 점

1) 미분 가능성 및 연속성:  함수가 미분 가능하고 연속적이어야 합니다.

                                           또한, 미분이 0이 되는 지점에서는 수렴이 느려지거나 수렴하지 않을 수 있습니다.

2) 초기 추정값의 선택: 초기 추정값에 따라 수렴 여부가 달라질 수 있습니다.

                                      부적절한 초기 추정값은 수렴을 방해하거나, 다른 해로 수렴하게 할 수 있습니다.

3) 계산 오류와 수렴 문제: 수학적으로 수렴이 보장되지 않는 경우가 있습니다.

                                          특히, 특정 조건에서는 발산할 수 있거나, 수렴이 매우 느릴 수 있습니다.

4) 함수의 복잡성: 함수가 복잡하거나 다수의 근을 가지고 있을 경우, 수렴하지 않을 수 있습니다. 

5) 수렴 주변의 근방에서만 유효: 초기 추정값 주변에서만 수렴이 보장됩니다.

                                                      멀리 떨어진 해에서는 다른 방법을 사용해야 할 수 있습니다.

6) 미분 계산의 안정성: 미분이 0이 되는 지점이나 불연속성이 있는 지점에서 문제가 발생할 수 있습니다.

3. 예제

위 함수 일 때,

미분 공식은 : f'(x) = 2x  입니다.

이때, 초기 추정값을 x_0 = 3  으로 설정합니다.

1step

x_1 = 3 - ((3^2-4)) / (2*3) = 2.1667

x_2 = (2.1667 공식에 대입) = 2

x_3 = (2 공식에 대입 ) =2

따라서, x_2 , x_3 의 값이 2가 됨에 따라,  f(x) =0 이되는 x의 값이 2가 됨을 알 수 있습니다.

4. 그래프

다음과 같이 추정 값 '3' 으로 부터 근사값을 계속하여 f(x) = 0 을 알아가는 그래프를  확인 할 수 있습니다.

위 그래프에 대한 matlab 코드는 아래의 글을 통해 확인 가능합니다.

clc
close all
clear 
% 주어진 함수 정의
f = @(x) x.^2 - 4;

% 함수의 미분 정의
df = @(x) 2 * x;

% 초기 추정값 설정
x0 = 3;

% 반복 횟수 설정
numIterations = 10;

% x 범위 설정
xRange = linspace(-3, 4, 100);

% 함수 및 뉴턴-랩슨 반복 결과를 그래프로 나타냄
figure;

% 주어진 함수의 그래프
subplot(2, 1, 1);
plot(xRange, f(xRange), 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
grid on;

% 초기 추정값을 빨간색 원으로 표시
plot(x0, f(x0), 'ro', 'MarkerSize', 10);

% 뉴턴-랩슨 반복 수행
for i = 1:numIterations
    x1 = x0 - f(x0) / df(x0);
    
    % 그래프 상에서 반복된 추정값을 선으로 연결
    plot([x0, x1], [f(x0), 0], 'r--');
    
    % 다음 반복을 위해 추정값 갱신
    x0 = x1;
end

% 최종 결과값을 녹색 별표로 표시
plot(x1, f(x1), 'g*', 'MarkerSize', 10);

% 그래프 스타일 및 레이블 설정
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
title('Newton-Raphson Method Example');
% legend('f(x)', 'Initial Guess', 'Iteration Steps', 'Final Result');

% 주어진 함수의 그래프 및 뉴턴-랩슨 결과의 확대된 그래프
subplot(2, 1, 2);
plot(xRange, f(xRange), 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
grid on;

% 초기 추정값을 빨간색 원으로 표시
plot(x0, f(x0), 'ro', 'MarkerSize', 10);

% 뉴턴-랩슨 반복 수행 (확대된 그래프)
for i = 1:numIterations
    x1 = x0 - f(x0) / df(x0);
    
    % 그래프 상에서 반복된 추정값을 선으로 연결
    plot([x0, x1], [f(x0), 0], 'r--');
    
    % 다음 반복을 위해 추정값 갱신
    x0 = x1;
end

% 최종 결과값을 녹색 별표로 표시 (확대된 그래프)
plot(x1, f(x1), 'g*', 'MarkerSize', 10);

% 그래프 스타일 및 레이블 설정
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
title('Newton-Raphson Method Example (Zoomed In)');
% legend('f(x)', 'Initial Guess', 'Iteration Steps', 'Final Result');

% 그래프 보여주기
hold off;

<<  아래의 조건에 성립되면 아래 공식이 성립되는 정리 >>

1.조건

 1) f(x)와 g(x)가 a에서 정의

 2) f(x) = g(x)=0 또는 f(x) = g(x)  = ±∞

 3) g′(x)가 0이 아닌 근방에서 정의 ( g(x) not equal 0)

2.설명

• 형태 0/0:

   예를 들어 아래의 식이라고 가정하자.

여기서, ff(x)=sin(x), g(x)=x, 그리고 a=0입니다.

이 문제에 L'Hôpital의 규칙을 적용하면 ( f(x) 미분 / g(x) 미분 )

위와 같이 적용 할 수 있습니다.

※ 수식으로 보면 이해가 어려울 수 있어 그래프로 추가 설명 드립니다.

위와 같이 f(x) = sin(x) 이므로 미분하여 f'(x)를 만들면,

f'(x) = cos(x) 가 됩니다.

(이유는 sin(x)의 경우 순간변화율(기울기) sin(2/ π) 에서 0이 되는 그래프는 cos(x)이기 때문에 라고 생각하시면 쉽습니다.)

그래프를 보시면 극한 0에 수렴하는 y의 값이 f'(x)  = 1 , g'(x) = 1 이라는 것을 확인 할 수 있습니다.

matlab으로 작성한 코드는 아래와 같으니 ,만약 확인하시고 싶으시면 사용하셔도 됩니다.

clc
close all
clear 
% 함수 및 도함수 정의
syms x;
f = sin(x);
g = x;

% 도함수 계산
f_prime = diff(f, x);
g_prime = diff(g, x);

% 함수 및 도함수 함수 핸들 생성
f_func = matlabFunction(f);
g_func = matlabFunction(g);
f_prime_func = @(x) subs(f_prime, x);
g_prime_func = @(x) subs(g_prime, x);

% 그래프 그리기
x_values = linspace(-5, 5, 1000);
f_values = f_func(x_values);
g_values = g_func(x_values);
f_prime_values = f_prime_func(x_values);
g_prime_values = g_prime_func(x_values);

% 그래프 스타일 설정
figure;

% f(x) 그래프
subplot(3, 2, 1);
plot(x_values, f_values, 'b', 'LineWidth', 2);
title('Graph of f(x)');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
grid on;

% g(x) 그래프
subplot(3, 2, 2);
plot(x_values, g_values, 'r', 'LineWidth', 2);
title('Graph of g(x)');
xlabel('x');
ylabel('g(x)');
grid on;

% f'(x) 그래프
subplot(3, 2, 3);
plot(x_values, f_prime_values, 'm', 'LineWidth', 2);
title('Graph of f''(x)');
xlabel('x');
ylabel('f''(x)');
grid on;

% g'(x) 그래프
subplot(3, 2, 4);
plot(x_values, g_prime_values, 'c', 'LineWidth', 2);
title('Graph of g''(x)');
xlabel('x');
ylabel('g''(x)');
grid on;

• 형태 ∞/∞:

예를 들어 아래의 식이라고 가정하자

여기서, f(x) = x^2, g(x) = e^x이고,  a = ∞입니다. L'Hôpital의 규칙을 적용하면,

위와 같이 증명이 됩니다.

단, 로피탈의 정리는 형태가 반드시 0/0 이거나 ∞/∞ 이어야 되므로, 주의하면서 사용해야됩니다.!!!

<< 아래의  조건일 때 아래의 공식이 만족하는 정리>>

1.설명 (조건)

• 닫힌 구간 [a,b]에서 연속 이어야 합니다.
• 구간 (a,b)에서 미분 가능하여야 합니다.
• 적어도 하나의 c가 (a,b)에서 존재한 상태입니다.

※ 이 공식의 이름 자체가 '평균 값' 이라는 단어가 들어가 무엇을 ? 어떤걸? 구하기 위한 것인지 어려울 수 있습니다.

평균 값은 '평균 변화율 = 순간 변화율' 이 성립되는 값을 의미합니다.

단어만 보았을 때는 더 어려워졌네요.. 그럼 그래프를 통해 설명드리겠습니다.

연속된 구간 [a,b] 에 대해서 기울기를 평균 변화율이라고 합니다. ( (  f(b) - f(a) )  / ( b - a))

** 롤의 정리에 의하면 f(a) = (b) 일 때 f'(c)는 0이라는 공식에 증명이 가능합니다.

순간변화율은 그래프에서  (c , f(c)) 에 대한 기울기를 의미합니다. 한 점을 의미하므로, 순간이라고 표현 가능하겠죠 ㅎㅎ

따라서, 평균 값 정리는 어떤 함수가 구간[a,b]에서 연속이고 미분 가능하면,

어떤 순간(c)에 그 순간의 변화율이 평균 변화율과 같아지는 지점이 반드시 하나 존재한다. 를 의미합니다.

기울기므로 f(c)를 미분한 f'(c) 가 됩니다.

2. 예제

이 함수는 구간 [0,2]에서 연속이고 미분 가능하며,

평균 변화율을 구하면 ( f(2) − f(0) ) / (4 - 2) = 2입니다.

따라서 평균값 정리에 따르면 구간 (0,2)에서 f′(c) = 2을 만족하는 c가 존재합니다.

<<  함수 f(x)가 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이고 구간 (a,b)에서 미분 가능하며,

f(a)=f(b)일 때,  적어도 하나의 c가 (a,b)에서 존재하여 ' f′(c)=0  ' 이라는 정리입니다. >>

1.설명

• 만약 함수가 양 끝에서 같은 값을 가지면 그 중간에는 순간 변화율이 0이 되는 지점이 반드시 하나 존재한다.

2. 예시

이 함수는 구간 [1,3][1,3]에서 연속이고 미분 가능하며, f(1)=f(3)=1입니다.

따라서 Rolle의 정리에 따르면 구간 (1,3)(1,3)에서 f′(c)=0f′(c)=0을 만족하는 c가 존재합니다.

설명을 드리자면, 위와 같은 그래프(롤의 정리에 만족하는 가정 하에)에서 순간 변화율이 0인 부분이 있습니다.

우리는 이제 위 순간 변화율의 x 좌표 'c'를 찾을 수 있습니다.

위 정리 하에 우리는 The Mean Value Theorem (평균 값 정리)  를 도출 할 수 있습니다...

<<  삼각함수의 쌍곡선 버전   >>

1.정의

• 쌍곡선 사인(sinh)
• 쌍곡선 코사인(cosh)
• 쌍곡선 탄젠트(tanh)
• 쌍곡선 코시컨트(csch)
• 쌍곡선 시컨트(sech)
• 쌍곡선 코탄젠트(coth)

2. 기초 공식

삼각함수와 쌍곡선 함수의 공식의 차이를 아래와 같이 비교하겠습니다.

아래 부터 위(삼각함수 공식) , 아래 (쌍곡선 함수)

1) 덧셈, 뺄셈 공식:

   sin(x±y)  = sin(x)cos(y)    ±   cos(x)sin(y)

   cos(x±y) = cos(x)cos(y)   ∓   sin(x)sin(y)

  sinh(x±y)  = sinh(x)cosh(y)   ±  cosh(x)sinh(y)

  cosh(x±y) = cosh(x)cosh(y)  ±  sinh(x)sinh(y)

2) sec²의 tan² 변환:

  sec2(x)   = 1   +   tan2(x)

  sech2(x) = 1   −  tanh2(x)

3) sin(-x) 변환:

  sin(−x) = − sin(x)

  sinh(−x) = − sinh(x)

4)cos(-x) 변환:

cos(−x)   =   cos(x)

cosh(−x)  =  cosh(x)

5) 피타고라스 변환:

sin2(θ)  +  cos2(θ)  =   1

cosh2(x) -   sinh2(x) =  1

3. 미분

건강에  해로운 공식이므로  공식은 숨겨놓겠습니다.

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