잡다한 지식

<< 함수의 근사값을 직선을 사용하여 구하는 방법    >>

1.설명

• 특정 지점에서 함수의 접선을 사용하여 함수를 선형으로 근사화합니다. .
• 주어진 지점에서 함수의 값을 빠르게 추정하거나 계산을 단순화하는 데 사용됩니다.
• L(x) 는  f(x)의 선형 근사 함수
• f(a) 는  x=a 에서의 함수의 값
• f'(a) 는 x=a 에서의 함수의 도함수의 값

2. 예시

x= 4 일 때의 선형 근사를 위의 예제에 대해 풀어보자

x = 4.2 일 떄의 근사치는?

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1. 함수 값 구하기

f(4) = 2

f'(x) = 1 / 2*(root x)

f'(4) = 1 / 4

 

따라서,

 

L(x) = 2 + (1 / 4 ) * (x - 4) 

 

여기서 4.2 를 x에 대입하면, 

 

f(4.2) ≈ 2.05   가 도출됩니다.

 

<< 합성 함수의 미분 규칙   >>

1.설명

• 외부 함수와 내부 함수의 미분을 곱하는 것이 연쇄법칙의 핵심 아이디어입니다.
• 연쇄법칙의 수학적 표현은 다음과 같습니다:

• ​위 공식의 u는 내부함수입니다. 즉 , g(x) = u 라고 생각하시면됩니다. dy / du => f`(g(x)

2. 예제

u = 2x+1 로 정의하면,

y= u^3  가 됩니다.

따라서, dy / du = 3(2x+1)^2  

            du / dx = 2

위 식을 곱하면 연쇄법칙에 의한 풀이가 됩니다.

최종 풀이 : 6(2x+1)^2 

이와 같이 합성함수의 미분을 쉽게 계산할 수 있습니다.

<< 미적분학에서 두 함수의 나눗셈의 도함수를 구하는 규칙입니다.  >>

1.설명

• 각 함수의 도함수를 개별적으로 구한 다음 공식에 대입하여 계산할 수 있습니다.

2. 증명

이해를 쉽게하자면 f'(x)  계산 과정 3번째 줄에 각 분모에 -h(x)g(x)를 하는 것을 곰곰히 생각하시면 공식 증명은 쉽습니다.

3. 활용 (기초)

위의 미분을 구하시오.

3. 활용 (심화)

chain Rule 과 Quotient Rule , Power Rule 과 같이 함께 사용하면 환상의 하모니가 열립니다. ~~~

아래의 문제를 풀어보세요

https://knowledge-skills.tistory.com/52

<< 일반적으로 밑이 상수이고 지수가 변수인 함수 >>

1.설명

• 지수(x)는 실수 값을 가지는 변수가 됩니다.
• 밑(a)는 양의 상수 입니다.

※  여기서 밑(a) 가 음수인 경우도 성립은 된다. 이는 다음 글에서 설명 하겠습니다. (feat, 오일러 공식)

2. 특징 

1. a > 1인 경우 : x가 증가함에 따라 무한히 커지고, x가 감소함에 따라 무한히 작아집니다
2. 0 < a < 1인 경우 : x가 증가함에 따라 0으로 수렴하고, x가 감소함에 따라 무한히 커집니다.
3. a = 1인 경우: 지수 함수는 상수 함수로 변합니다. 즉, 모든 x에 대해 값이 1로 일정합니다.
4. 음수 지수의 경우: 지수 함수에서 음수 지수는 분수로 표현될 수 있습니다. 예를 들어, a^-x =1/a^x아래의 그래프를 참고하면 이해를 쉽게 할 수 있습니다.

<< 특정 ' 밑 '을 사용하여 어떤 수를 해당 밑으로 몇 번 거듭제곱해야 하는지를 나타내는 함수 >>

1.설명

• 지수 함수와 역함수 관계입니다.
• 상용로그 : 로그의 밑이 10인 경우
• 자연로그 : 로그의 밑이 'e' 인 경우

2. 로그의 성질

  1)

  2) 곱의 법칙(Multiplication Rule):

 2) 나눗셈의 법칙(Division Rule):

 2) 지수의 법칙(Power Rule):

<< 아래의 형태를 가진 함수>>

1.설명

• f와 f^(−1)이 서로를 상쇄하는 역할

※  간단히 설명하자면 , 현금 -> 음료수 (입력 x 를 f 라는 자판기에 전달했더니 출력 y가 나왔다.)

    역함수의 경우에는   음료수 -> 현금 (출력 y를 f^(-1) 자판기에 전달했더니 입력 x 로 되돌렸다.)

2. 특징 ①

1. 유일성: 각 x 값에 대해 오직 하나의 y 값이 존재하고, 
                각 y 값에 대해 오직 하나의 x 값이 존재해야 역함수가 존재합니다. (1:1 함수 충족)
2. 대칭성: 원래 함수의 그래프를 y = x  대칭으로 뒤집으면 역함수의 그래프가 됩니다.
   
   
   

2. 로그 함수의 역함수 특징 ②

1. 아래의 공식이 충족됩니다.

   

   ※  예를 들어, 2 = log_10(100)  이라는 공식은  10^2 = 100 이라 설명할 수 있습니다.
2. 자연로그의 경우 아래의 공식이 충족됩니다.

   

   증명log_e^x =y  이므로 <로그함수의 역함수1> 의 공식을 참고하면, e^y =x 의 공식이 성립됩니다.

https://knowledge-skills.tistory.com/49

<< 아래의 형태를 가진 함수>>

1.설명

• Injective function (단사 함수) 라고도 합니다.
• 입력 값에 따른 y 의 값이 한 개로 정의 되는 함수입니다.

※ 단사라는 의미도 참 어렵습니다. 말의 의미가 어렵기에 단사 = 1 : 1 매칭이라고 생각해주시면 됩니다.

2. (1 :1) 함수에 미 충족 되는 경우

• 미 충족 되는 이유는 x 값이 -2 , 2  일 경우 y의 값이 4로 2:1 매칭이기 때문입니다.
• 따라서, 반드시 모든 x의 값이 입력 되었을 때 y의 값이 같으면 안 됩니다.

참고 그래프 (f(x) = x^2)

3. 참고 Horizontal Line Test (수평선 테스트)

• 확인하고자 하는 그래프에서 수평선을 그었을 때를 가정합니다.
• 수평선과 확인하고자 하는 그래프의 접촉부분은 1개를 초과하였을 때, 아래와 같이 1:1 함수가 미충족됩니다.

참고 그래프 (f(x) = x^2 ,     f(x) =1 , f(x) =3)

<< 아래의 형태를 가진 함수>>

1.설명

• a는 상수 입니다.
• n은 자연수 또는 정수 입니다.
• x는 독립변수 입니다

※ 멱이라는 의미가 참 어렵습니다. 그냥 거듭제곱 함수라고 생각하시면 간단합니다.

2. 특징 ①

1. n이 양수인 경우: 함수는  x의 증가에 따라 값도 증가합니다.
2. n이 0인 경우: 상수 함수가 되며, f(x)=a의 형태를 가집니다
3. n이 음수인 경우: 함수는 y축 으로 치우쳐 양수의 값을 가지며, x의 증가에 따라 값은 감소합니다.

참고 그래프 (왼쪽 부터 n이 2 , 1 , -2    가 되는 경우)

2. 특징 ②

1. n이 짝수인 경우: 함수의 그래프는 양수 값을 가지며, y축 기준 대칭으로 보이게 됩니다.
2. n이 홀수인 경우: 함수의 그래프는 음수에서 양수로 이동하며, 원점 기준으로 대칭으로 보입니다.

참고 그래프 (왼쪽 부터 n이 2  , 3    가 되는 경우)